MỘT ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA


Ở bài đăng trước, tôi đã khái quát việc chứng minh phương trình tích phân Volterra có nghiệm duy nhất trong E bằng việc chứng minh 2 phần quan trọng nhất là sự có nghiệm và nghiệm đó là nghiệm duy nhất. Ở bài đăng này, tôi sẽ giới thiệu một định lý khá quan trọng trong bài toán Cauchy cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 – định lý tồn tại và duy nhất nghiệm. Nhưng trước hết, ta cần phải biết thế nào là một bài toán Cauchy cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.

Định nghĩa : Giả sử rằng p(x),q(x),f(x) là các hàm số cho trước liên tục trên đoạn J=[a,b],(x_0,y_0)\in J\times\mathbb{R} cho trước. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 tổng quát thỏa mãn các điều kiện sau

\begin{cases}y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),x\in J \\ y(x_0)=y_0 \\ y'(x_0)=y'_0\end{cases}

được gọi là bài toán Cauchy cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.

Định lý : Bài toán Cauchy nêu trên có duy nhất nghiệm trên J.

Chứng minh : Ta sẽ thiết lập phương trình tích phân tương đương với bài toán Cauchy.

Đặt z_1=y,z_2=y'. Khi đó, bài toán Cauchy được viết lại như sau

\begin{cases}z'_1=z_2 \\ z'_2=-p(x)z_2-q(x)z_1+f(x),x\in J \\ z_1(x_0)=y_0 \\ z_2(x_0)=y'_0\end{cases}

hay

\begin{cases} {\begin{pmatrix}z'_1\\z'_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\-q(x) & -p(x)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\f(x)\end{pmatrix}, x\in J} \\ {\begin{pmatrix} z'_1(x_0)\\z'_2(x_0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_0\\y'_0\end{pmatrix}} \end{cases}

Ta đơn giản hóa bài toán hơn nữa bằng cách đặt

z(x)=\begin{pmatrix}z_1(x)\\z_2(x)\end{pmatrix}

z'(x)=\begin{pmatrix}z'_1(x)\\z'_2(x)\end{pmatrix}

z_0=\begin{pmatrix}y_0\\y'_0\end{pmatrix}

A(x)=\begin{pmatrix}0 & 1\\-q(x) & -p(x)\end{pmatrix}

F(x)=\begin{pmatrix}0\\f(x)\end{pmatrix}

Như vậy, ta được

\begin{cases}z'=A(x)z+F(x),x\in J \\ z(x_0)=z_0\end{cases}

Do đó, bài toán mà ta đã đơn giản tương đương với phương trình tích phân sau

\displaystyle{z(x)=z_0+\int_{x_0}^{x} {\left[A(t)z(t)+F(t)\right]dt,x\in J}}

Đây chính là một dạng của phương trình tích phân Volterra và việc chứng minh hoàn toàn giống ở bài đăng trước. \square

Tagged , ,

8 thoughts on “MỘT ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA

  1. Trang Nhung says:

    Chào thầy. e đang nghên cứu về phương trình tích phân. thầy cho e biết cách giải của phương trình vi phân ạ? e chưa tìm thấy tài liệu nào nói về phương pháp giải của laoij phương trình này. e cảm ơn thầy.

    • voanhkhoa says:

      Chào bạn, mình không rõ 2 loại phương trình (vi phân và tích phân) cụ thể bạn đang đề cập tới. Thực tế, luôn có 2 hướng tiếp cận để giải là tìm nghiệm chính xác và tìm nghiệm xấp xỉ. Như vậy, không rõ tài liệu bạn cần là như thế nào?

      Best,
      VAK.

  2. Em chào thầy, hiện em đang tìm hiểu về Bài toán Cauchy cho pt Elliptic phi tuyến. Hiện tại em đang gặp khó ở 3 vấn đề: Dạng của Elliptic phi tuyền? Bài toán Cauchy trong tuyến tính và phi tuyến tính giống và khác ở điểm nào? Và ứng dụng của Btoan Cauchy bên phi tuyến tính? Em rất biết ơn khi đc thầy chỉ dẫn. Chúc thầy sức khỏe.

    • voanhkhoa says:

      Chào bạn, bạn nói bài toán Cauchy cho phương trình elliptic phi tuyến thì còn rất rộng, mình không biết bạn đang tìm hiểu cụ thể về gì, ví dụ tồn tại duy nhật nghiệm, các tính chất của nghiệm hay các vấn đề về xấp xỉ nghiệm…
      Về 3 vấn đề bạn nêu ra thì mình thắc mắc bạn tìm hiểu phương trình thì bạn phải nắm rõ dạng của nó? Còn về sự khác biệt giữa tuyến tính và phi tuyến thì ắt hẳn là ở dạng của các hàm số được định trong phương trình, ví dụ đơn giản là hàm nguồn có dạng phi tuyến thì bài toán đó sẽ là phi tuyến. Về ứng dụng của bài toán elliptic phi tuyến bạn có thể tìm hiểu qua phương trình elliptic sine-Gordon.
      Best,
      VAK.

      • Dạ, em cám ơn thầy nhiều. Tại giờ em mới nhận đc chủ đề vậy thôi chứ chưa biết làm mảng nào nữa. Thấy nhiều quá, thầy có thể tư vấn em mảng nào để dễ kiếm nguồn tài liệu không thầy?

        • voanhkhoa says:

          Chào bạn, mình nghĩ đến khi nào bạn nhận được đề tài cụ thể thì hãy bắt đầu tìm hiểu. Hiện tại bạn nên học các kiến thức cơ bản về phương trình elliptic thông thường, bạn có thể tìm bằng google, bằng các bài giảng cho sinh viên chẳng hạn.
          Best,
          VAK.

  3. Tô Quang Tịnh says:

    Dạng phương trình này có phải là.dạng phương trình được chứng minh trong sách “Giải tích hàm” của thầy Đức không vậy, anh?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: