SỰ PHÂN KỲ CỦA DÃY HÀM SIN VÀ COS


Một vấn đề khá lý thú trong lý thuyết hội tụ của dãy hàm mà tôi muốn nêu ra ở đây là việc chứng minh sự phân kỳ cùng một lúc hai dãy hàm lượng giác quen thuộc.

Bài toán : Chứng minh rằng dãy \left(\sin{nx}\right),\left(\cos{nx}\right) phân kỳ với x\in (0,2\pi).

Chứng minh :

Ta sẽ chứng minh bằng việc phản chứng sự hội tụ của một trong 2 dãy hàm lượng giác trên, ở đây tôi chọn \left(\sin{nx}\right).

Cố định một x\in (0,2\pi). Giả sử rằng tồn tại l\in \mathbb{R} sao cho khi n\to\infty thì \sin{nx}\to l. Mặt khác, ta có

\sin{(n+1)x}=\sin{nx}\cos{x}+\sin{x}\cos{nx}

Ta suy ra được rằng khi n\to\infty, tồn tại l'\in\mathbb{R} sao cho

\displaystyle{\cos{nx}=\frac{\sin{(n+1)x}-\sin{nx}\cos{x}}{\sin{x}}\to l'=l.\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}}

Hơn nữa, nếu đã tồn tại l'\in\mathbb{R} sao cho khi n\to\infty thì \cos{nx}\to l'. Ta lại sử dụng công thức

\cos{(n+1)x}=\cos{nx}\cos{x}-\sin{nx}\sin{x}

Tương tự như trên, ta sẽ suy ra được

\displaystyle{\sin{nx}\to l=l'\frac{\cos{x}-1}{\sin{x}}}

Từ đó, đặt \displaystyle{t=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}}, ta có được hệ sau

\begin{cases} l'=lt \\ l=-l't\end{cases}

Do đó, l=l'=0.

Mặt khác, do \sin^2{nx}+\cos^2{nx}=1 nên l^2+{l'}^2=1 khi n\to\infty. Ta có được điều mâu thuẫn. \square

Tagged ,

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: