MỘT BÀI TOÁN NHỎ TRONG LỚP


Trong phương trình Vật Lý – Toán, ta đã quen thuộc với việc giải bài toán tổng quát (1)

\begin{cases}u_{tt}-a^2 u_{xx}=f(x,t),0<x<L,t>0\\u(0,t)=g_0(t),u(L,t)=g_L(t),t\ge 0\\u(x,0)=u_0(x),u_t(x,0)=u_1(x),0\le x\le L\end{cases}

bằng việc đổi ẩn hàm v(x,t)=u(x,t)-\phi(x,t) thông qua hàm trung gian \phi(x,t) định bởi

\phi(x,t)=\dfrac{x}{L}g_L(t)+\left(1-\dfrac{x}{L}\right)g_0(t)

Tuy nhiên, phương pháp trên không áp dụng cho bài toán cụ thể khi u(0,t)=u(L,t)=0. Qua đó, tôi sẽ giới thiệu phương pháp để giải bài toán (2) cụ thể với trường hợp đã nêu. Ta phát biểu bài toán (2) như sau

\begin{cases}u_{tt}- u_{xx}=f(t)\sin{n\pi x},0<x<L,t>0\\u(0,t)=u(L,t)=0,t\ge 0\\u(x,0)=u_0(x),u_t(x,0)=u_1(x),0\le x\le L\end{cases}

với f là đa thức, \deg{f}=\overline{0,1},n\in \mathbb{N}

Trước tiên, ta sẽ nhắc lại nghiệm của bài toán (3)

\begin{cases}u_{tt}-a^2 u_{xx}=0,0<x<L,t>0\\u(0,t)=u(L,t)=0,t\ge 0\\u(x,0)=u_0(x),u_t(x,0)=u_1(x),0\le x\le L\end{cases}

Thì

\displaystyle{u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} \left(A_n\cos{\frac{n\pi a}{L}t}+B_n\sin{\frac{n\pi a}{L}t}\right)\sin{\frac{n\pi x}{L}}}

\displaystyle{A_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}{u_0(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}}dx}}

\displaystyle{B_n=\frac{2}{n\pi a}\int_{0}^{L}{u_1(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}}dx}}

___________________________________________________________

Ta giải bài toán (2), đặt:

v(x,t)=u(x,t)-\dfrac{1}{(n\pi)^2}f(t)\sin{n\pi x}

Khi đó,

\begin{cases}v_{tt}=u_{tt}\\v_{xx}=u_{xx}+f(t)\sin{n\pi x}\end{cases}

Do đó, v_{tt}-v_{xx}=0

Ngoài ra,

\begin{cases}v(0,t)=u(0,t)\\v(L,t)=u(L,t)\end{cases}

Do đó, v(0,t)=v(L,t)=0

Hơn nữa,

v(x,0)=u(x,0)-\dfrac{1}{(n\pi)^2}f(0)\sin{n\pi x}\equiv v_0(x)

v_t(x,0)=u_t(x,t)-\dfrac{1}{(n\pi)^2}f'(0)\sin{n\pi x}\equiv v_1(x)

Lúc đó, ta đưa bài toán (2) về bài toán (4) sau

\begin{cases}v_{tt}-v_{xx}=0,0<x<L,t>0\\v(0,t)=v(L,t)=0,t\ge 0\\v(x,0)=v_0(x),v_t(x,0)=v_1(x),0\le x\le L\end{cases}

Đây chính bài toán (3) mà ta đã nêu ở trên.

Chú ý: Ta có f(t)=at+b, do đó f(0)=bf'(0)=a nếu a\ne 0f'(0)=b nếu a=0. Như vậy, thật dễ dàng đi tìm các hệ số Fourier cho nghiệm v(x,t) của bài toán (4).

Vấn đề đặt ra tiếp theo: Nếu \deg{f}=\overline{0,2}, nghĩa là f(t)=at^2+bt+c thì sao?!?

One thought on “MỘT BÀI TOÁN NHỎ TRONG LỚP

  1. Lê Trọng Quân says:

    Oh man tui hôm đó làm cách này đó ba, nhưng chưa làm xong thấy bon nó làm khác nên cuống quá chẳng làm tiếp được.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: