MỘT BÀI TOÁN NHỎ TRONG LỚP

Trong phương trình Vật Lý – Toán, ta đã quen thuộc với việc giải bài toán tổng quát (1)

$\begin{cases}u_{tt}-a^2 u_{xx}=f(x,t),0<x<L,t>0\\u(0,t)=g_0(t),u(L,t)=g_L(t),t\ge 0\\u(x,0)=u_0(x),u_t(x,0)=u_1(x),0\le x\le L\end{cases}$

bằng việc đổi ẩn hàm $v(x,t)=u(x,t)-\phi(x,t)$ thông qua hàm trung gian $\phi(x,t)$ định bởi

$\phi(x,t)=\dfrac{x}{L}g_L(t)+\left(1-\dfrac{x}{L}\right)g_0(t)$

Tuy nhiên, phương pháp trên không áp dụng cho bài toán cụ thể khi $u(0,t)=u(L,t)=0$ . Qua đó, tôi sẽ giới thiệu phương pháp để giải bài toán (2) cụ thể với trường hợp đã nêu. Ta phát biểu bài toán (2) như sau

$\begin{cases}u_{tt}- u_{xx}=f(t)\sin{n\pi x},0<x<L,t>0\\u(0,t)=u(L,t)=0,t\ge 0\\u(x,0)=u_0(x),u_t(x,0)=u_1(x),0\le x\le L\end{cases}$

với $f$ là đa thức, $\deg{f}=\overline{0,1},n\in \mathbb{N}$

Trước tiên, ta sẽ nhắc lại nghiệm của bài toán (3)

$\begin{cases}u_{tt}-a^2 u_{xx}=0,0<x<L,t>0\\u(0,t)=u(L,t)=0,t\ge 0\\u(x,0)=u_0(x),u_t(x,0)=u_1(x),0\le x\le L\end{cases}$

Thì

$\displaystyle{u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} \left(A_n\cos{\frac{n\pi a}{L}t}+B_n\sin{\frac{n\pi a}{L}t}\right)\sin{\frac{n\pi x}{L}}}$

$\displaystyle{A_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}{u_0(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}}dx}}$

$\displaystyle{B_n=\frac{2}{n\pi a}\int_{0}^{L}{u_1(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}}dx}}$

___________________________________________________________

Ta giải bài toán (2), đặt:

$v(x,t)=u(x,t)-\dfrac{1}{(n\pi)^2}f(t)\sin{n\pi x}$

Khi đó,

$\begin{cases}v_{tt}=u_{tt}\\v_{xx}=u_{xx}+f(t)\sin{n\pi x}\end{cases}$

Do đó, $v_{tt}-v_{xx}=0$

Ngoài ra,

$\begin{cases}v(0,t)=u(0,t)\\v(L,t)=u(L,t)\end{cases}$

Do đó, $v(0,t)=v(L,t)=0$

Hơn nữa,

$v(x,0)=u(x,0)-\dfrac{1}{(n\pi)^2}f(0)\sin{n\pi x}\equiv v_0(x)$

$v_t(x,0)=u_t(x,t)-\dfrac{1}{(n\pi)^2}f'(0)\sin{n\pi x}\equiv v_1(x)$

Lúc đó, ta đưa bài toán (2) về bài toán (4) sau

$\begin{cases}v_{tt}-v_{xx}=0,0<x<L,t>0\\v(0,t)=v(L,t)=0,t\ge 0\\v(x,0)=v_0(x),v_t(x,0)=v_1(x),0\le x\le L\end{cases}$

Đây chính bài toán (3) mà ta đã nêu ở trên.

Chú ý: Ta có $f(t)=at+b$ , do đó $f(0)=b$ và $f'(0)=a$ nếu $a\ne 0$ và $f'(0)=b$ nếu $a=0$ . Như vậy, thật dễ dàng đi tìm các hệ số Fourier cho nghiệm $v(x,t)$ của bài toán (4).