Tag Archives: nghiệm duy nhất

MỘT ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA


Ở bài đăng trước, tôi đã khái quát việc chứng minh phương trình tích phân Volterra có nghiệm duy nhất trong E bằng việc chứng minh 2 phần quan trọng nhất là sự có nghiệm và nghiệm đó là nghiệm duy nhất. Ở bài đăng này, tôi sẽ giới thiệu một định lý khá quan trọng trong bài toán Cauchy cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 – định lý tồn tại và duy nhất nghiệm. Nhưng trước hết, ta cần phải biết thế nào là một bài toán Cauchy cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.

Định nghĩa : Giả sử rằng p(x),q(x),f(x) là các hàm số cho trước liên tục trên đoạn J=[a,b],(x_0,y_0)\in J\times\mathbb{R} cho trước. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 tổng quát thỏa mãn các điều kiện sau

\begin{cases}y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),x\in J \\ y(x_0)=y_0 \\ y'(x_0)=y'_0\end{cases}

được gọi là bài toán Cauchy cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.

Định lý : Bài toán Cauchy nêu trên có duy nhất nghiệm trên J.

Chứng minh : Ta sẽ thiết lập phương trình tích phân tương đương với bài toán Cauchy.

Đặt z_1=y,z_2=y'. Khi đó, bài toán Cauchy được viết lại như sau

\begin{cases}z'_1=z_2 \\ z'_2=-p(x)z_2-q(x)z_1+f(x),x\in J \\ z_1(x_0)=y_0 \\ z_2(x_0)=y'_0\end{cases}

hay

\begin{cases} {\begin{pmatrix}z'_1\\z'_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\-q(x) & -p(x)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\f(x)\end{pmatrix}, x\in J} \\ {\begin{pmatrix} z'_1(x_0)\\z'_2(x_0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_0\\y'_0\end{pmatrix}} \end{cases}

Ta đơn giản hóa bài toán hơn nữa bằng cách đặt

z(x)=\begin{pmatrix}z_1(x)\\z_2(x)\end{pmatrix}

z'(x)=\begin{pmatrix}z'_1(x)\\z'_2(x)\end{pmatrix}

z_0=\begin{pmatrix}y_0\\y'_0\end{pmatrix}

A(x)=\begin{pmatrix}0 & 1\\-q(x) & -p(x)\end{pmatrix}

F(x)=\begin{pmatrix}0\\f(x)\end{pmatrix}

Như vậy, ta được

\begin{cases}z'=A(x)z+F(x),x\in J \\ z(x_0)=z_0\end{cases}

Do đó, bài toán mà ta đã đơn giản tương đương với phương trình tích phân sau

\displaystyle{z(x)=z_0+\int_{x_0}^{x} {\left[A(t)z(t)+F(t)\right]dt,x\in J}}

Đây chính là một dạng của phương trình tích phân Volterra và việc chứng minh hoàn toàn giống ở bài đăng trước. \square

Tagged , ,
%d bloggers like this: