Tag Archives: phi euclide

HÌNH HỌC PHI EUCLIDE


Tiên đề Euclide về đường thẳng song song có lẽ đã quá quen thuộc đối với chúng ta từ khi mới bắt đầu bước vào thế giới hình học phẳng. Tuy nhiên, Gauss, Lobachevski và Bolyai đã độc lập chỉ ra rằng tiên đề này sai nhưng những giả thiết khác của Euclide vẫn đúng. Và những tính chất mà Gauss, Lobachevski và Bolyai xây dựng nên được gọi là hình học Lobachevski (hoặc hình học hyperbolic).

Không giống như hình học Euclide, hình học Lobachevski có rất nhiều đường thẳng song song với một đường cho trước, đi qua một điểm cố định. Và trong thực tế, Einstein cũng đã quả quyết như vậy.

Thật vậy, chúng ta sẽ đến với một ví dụ để chứng minh rằng tại sao Gauss, Lobachevski và Bolyai lại cho rằng tiên đề Euclide là sai. Ví dụ mà tôi sắp đề cập đến có liên quan đến không gian mêtríc, được khởi xướng bởi một nhà toán học người Pháp – Poincaré.

Ví dụ : Cho X là một tập trong không gian mêtríc \mathbb{R}^2, với mêtríc Poincaré. Ta đặt X=\left\{(x,y):x^2+y^2<1\right\}. Và dĩ nhiên là mêtríc mà Poincaré đưa ra khác hẳn với mêtríc của Euclide.

Mêtríc ấy được xác định theo hình vẽ trên như sau :

Gọi P và Q là 2 điểm bất kì trong X. Nếu P, Q nằm trên đường kính của đường tròn C mà bao X thì L là đường kính. Ngược lại, nếu P, Q không nằm trên bất kì đường kính nào thì L là một đường cong duy nhất đi qua P, Q sao cho trực giao (vuông góc) với C. Khi đó, gọi A, B là giao điểm của L với C, Poincaré đã xác định một mêtríc giữa P và Q là

d(P,Q)=\left|\log\left(\dfrac{QB/QA}{PB/PA}\right)\right|

Ngoài ra, ta cũng có thể nghĩ rằng những điểm được biểu diễn ở đồ thị bên dưới như những dấu chân của một ai đó đang cố gắng bước từ thành phố trung tâm của một nước X đến biên giới của nước này. Và mỗi bước là một khoảng cách tương đương liên quan đến mêtríc Poincaré. Vì thế, người này sẽ không bao giờ đi đến được nơi mà người này muốn đến.

Hơn nữa, Poincaré đã định nghĩa rằng một đường được gọi là đường thẳng trong X chính là một trong số bất kì đường cong L đã nói ở trên. Và điều đặc biệt hơn cả là dựa vào mêtríc Poincaré, ông khẳng định rằng đường đi ngắn nhất từ P đến Q là dọc theo L. Khi đó, ông cũng xác định rõ ràng thế nào là góc giữa 2 đường thẳng L và M tương tự như đối với định nghĩa về góc của Euclide.

Với những định nghĩa được đưa ra trong hình học Lobachevski, ông cũng chứng minh được rằng 2 đường thẳng M, N cùng đi qua điểm P thì song song với đường thẳng L.

Các bạn nghĩ xem mêtríc mà Poincaré định nghĩa trong hình học Lobachevski có hao hao giống Trái Đất với các đường kinh tuyến, vĩ tuyến trên \mathbb{R}^2 hay không?

Tagged ,
%d bloggers like this: